Egy diagramon több változás ábrázolása lehetővé teszi a változások egymás közötti összehasonlítását.

Antibiotikum hatása egy érzékeny (o) és egy rezisztens (x) baktérium-izolátumra.

Mindig könnyebb feladat már, mint a kísérlet helyes megtervezése és kivitelezése. Ha már megkaptuk az adatokat, látványos 3D grafikont szerkeszthetünk valamelyik számítógépes program segítségével.

A pH és a hőmérséklet változásának együttes hatása egy baktériumtörzs növekedésére.

Keressünk a szakirodalomban olyan diagramokat, ahol egyik vagy mindkét tengelyen ábrázolt változó szorzat formájában van megadva! Értelmezzük a grafikont annak tudatában, hogy a tengelyfelirat azt mutatja meg, mit ábrázoltunk az illető tengelyen!

Egy állatcsoport testtömeg-eloszlása.

A jó grafikon egyszerű, pontos, világos és célszerű.

Célszerűségéhez a legmegfelelőbb típust kell kiválasztanunk, adataink jellegének és számának megfelelően. Pontos kell legyen, olyannyira, hogy a szövegkörnyezete elolvasása nélkül, önállóan megállja a helyét, minden, az értelmezéséhez szükséges információt tartalmaz. Mindezekhez összefoglaló címmel rendelkezik, valamint jelmagyarázattal, ha ez szükséges. Világos a grafikon akkor, ha a tengelyeket (amennyiben léteznek) azonosítottuk jellel vagy számmal és mértékegységgel, és olyan a tengelybeosztás, hogy minden ábrázolni kívánt adat elfér rajta, s ezek egyben kitöltik a grafikonnak szánt helyet. Nagyon kis, vagy nagyon nagy számok esetén jelölhetünk szorzást a tengelyen, távoli ábrázolandó értékek esetén pedig tengelymegszakítást alkalmazhatunk.

Az eddigiek alapján könnyen tudjuk követni a grafikonkészítés lépéseit, és olyan ábrákat tudunk készíteni, amelyek mind szakmailag, mind pedig esztétikailag megállják a helyüket.

A jégmező kiterjedésének változása különböző évek hónapjaiban.

A grafikonok értelmezésekor hajlamosak vagyunk csupán felületes értelmezésükre, pedig gyakran sokkal többel elmondanak, mint az, első látásra tűnik.

Az ábramagyarázat legfontosabb lépései:

Tudománynépszerűsítő cikkekben, napilapokban, vagy olyan tájékoztató kiadványokban, ahol nincs mód (vagy szándék!) diagramokat közzétenni, gyakran találkozunk bizonyos adatok szöveges összefoglalásával, magyarázatával. Ezek a magyarázatok gyakran nem kellően átláthatók, ugyanakkor egy-egy jelenségre, megfigyelésre fokozottan rá tudják irányítani a figyelmet. Ahhoz, hogy teljes képet kapjunk, megkísérelhetjük a leírt adatok alapján az eredeti diagram elkészítését. Amennyiben minden szükséges adat rendelkezésünkre áll, ezt sikerrel megtehetjük, de előfordulnak olyan esetek is, amikor bizonyos, a teljes diagram elkészítéséhez feltétlenül szükséges adatokat nem találjuk meg a cikkben.

Az első lépés mindenképpen az adatok kigyűjtése legyen, majd annak eldöntése, hogy tulajdonképpen hány diagramról – hány összetartozó adatsorról – lesz szó. Ezt követi a diagramkészítés a már ismert lépések szerint.

1. Ábrázoljuk grafikusan (a legmegfelelőbb típussal) a következő adatsorokat:

(Használható mm-papír vagy számítógép.)

Feketerigó fészekben talált tojások számának gyakorisága.

2. Ábrázoljuk grafikusan (a legmegfelelőbb típussal) a következő adatsorokat:

Rovarok előfordulása szín szerinti százalékos bontásban különböző élőhelyeken.

3. Ábrázoljuk grafikusan (a legmegfelelőbb típussal) a következő adatsorokat:

Kapillaritás különböző talajokban.

4. Állapítsuk meg, hogy az alábbiak közül melyeket lehet diszkrét, és melyeket folytonos adatokkal jellemezni.

a. egy városban, az egy év különböző hónapjai folyamán lehullott eső mennyisége milliméterben,

b. egy gépkocsi sebessége kilométer/órában,

c. az Egyesült Államok területén egy adott időben forgalomban lévő 20 dolláros bankjegyek mennyisége,

d. egy egyetemen a több év alatt beiratkozott hallgatók száma.

5. Adjuk meg a következő változók értékkészletét, és állapítsuk meg, hogy diszkrét-e vagy folytonos a változó!

a. egy farmon a hektáronként, több éven keresztül termett burgonya mennyisége tonnában,

b. egy család tagjainak száma,

c. egy személy családi állapota,

d. egy rakéta repülési ideje,

e. egy adott virágon található szirmok száma.

6. A táblázat az Egyesült Államok népességét mutatja (millió főben). Ábrázoljuk ezeket az adatokat!

folytatás:

7. Ábrázoljuk a következő táblázat adatai a. oszlopdiagram, b. vonaldiagram segítségével!

P farmon az 1975 és 1985 közötti időszakban termesztett burgonya és szalma mennyisége:

8. Az egyes földrészek területeit (millió km-ben) tartalmazza a következő táblázat. Ábrázoljuk az adatokat!

9. A táblázat az Egyesült Államok területén 1840 és 1980 között dolgozott mezőgazdasági és nem-mezőgazdasági munkások számát mutatja.

folytatás:

10. Magyarázzuk a következő ábrát:

Háztartások átlagos energiafogyasztása.

11. Magyarázzuk a következő ábrát:

Háztartások melegvíz-ellátottsága.

12. Magyarázzuk a következő ábrát:

Egy lakásra jutó energiafogyasztás.

13. Magyarázzuk a következő ábrát:

Uniós kiadások megoszlása.

14. Ábrázoljuk az adatokat más diagramtípussal!

Szén-dioxid kibocsátás megoszlása.

15. Lehet-e piktogramnak tekinteni a következő ábrákat?

Gleccserváltozás.

16. Ábrázoljuk diagramon az alábbi cikk által megfogalmazottakat:

18. Ábrázoljuk diagramon az alábbi cikk által megfogalmazottakat:

19. Ábrázoljuk, majd magyarázzuk  a következő táblázat adatait:

20. Ábrázoljuk, majd magyarázzuk  a következő táblázat adatait:

21. Ábrázoljuk diagramon az alábbi cikk által megfogalmazottakat:

Feladat

Ábrázoljuk, a legmegfelelőbb típusú diagramon:

1. Egy osztályban 30 gyerek magasságát mérték meg. Az adatok cm-ben, a mérés sorrendjében kapott értékeket mutatják.

135, 127, 135, 147, 130, 138, 140, 136, 142, 135, 124, 147, 137, 133, 140, 144, 132, 140, 135, 132, 145, 136, 142, 134, 140, 145, 150, 122, 142, 124.

2. Szirmokat számoltunk a Ranunculus ficaria virágán.

Biológiai kísérleteink, méréseink és felméréseink során gyakran találkozunk ilyen jellegű adatokkal. Közös jellemzőjük, hogy egy bizonyos tárgy, élőlény, jelenség vagy tulajdonság előfordulásának gyakoriságát mutatják be a vizsgált mintában.

A gyakoriság értékeket gyakorisági táblázatba rendezzük, és gyakorisági diagramban ábrázoljuk.

A gyakorisági diagram olyan oszlopdiagram, ahol az OY-tengelyen gyakoriságot (vagy relatív, vagy százalékos gyakoriságot) ábrázolunk.

A relatív gyakoriság kifejezi, hányad része egy bizonyos gyakoriság az összmintának.

           relatív gyakoriság = gyakoriság : minta elemszáma

A százalékos gyakoriságot a relatív gyakoriságból kapjuk, annak százalékban kifejezett értékével egyenlő:

               százalékos gyakoriság = relatív gyakoriság . 100 (%)

Azt a gyakorisági diagramot, amelynek OX-tengelye skála, oszlopai egymás mellettiek és azonos vastagságúak, hisztogramnak nevezzük.

A hisztogram oszlopainak területe megmutatja a gyakoriságok eloszlását egy bizonyos mintában. Ugyanekkora területet zár be a vízszintes tengellyel a gyakorisági poligon (gyakorisági görbe) is, tehát ugyancsak a gyakoriságok eloszlását adja meg.

A gyakorisági poligont (gyakorisági görbét) megkapjuk, ha a hisztogramot alkotó téglalapok fedőlapjainak középpontját összekötjük.

 Mintapélda

A következő táblázatban azokat az időket adjuk meg a legközelebbi másodpercre (mp) kerekítve, amelyekre 40 egyetemista fiúnak egy feladat megoldásához szüksége volt. Készítsünk gyakorisági eloszlást, hisztogramot és gyakorisági görbét (poligont)!

138, 146, 168, 146, 161, 164, 158, 126, 173, 145, 150, 140, 138, 142, 135, 132, 147, 176, 147, 142, 144, 136, 163, 135, 150, 125, 148, 119, 153, 156, 149, 152, 154, 140, 145, 157, 144, 165, 135, 128.

Megoldás

A leghosszabb idő 176 mp,  a legrövidebb 119 mp, így a

                                    terjedelem 176 - 119 = 57 (mp).

Csoportosítsuk a 40 adatot célszerűen 5 másodpercenként a 120, 125, 130, ... értékek köré.

Így közelítőleg

57 / 5 ≅ 11 osztályközt alkotunk,

amely a hisztogram oszlopainak alapja lesz.

A kapott osztályközök 118-122, 123-127, 128-132, ..., de az osztályok valódi határai 117.5, 122.5, 127.5, ... annak érdekében, hogy az OX-tengelyen valódi skálát használhassunk, és a határok ne eshessenek egybe az adatokkal.

Ezen meggondolások alapján rendezzük át adatainkat a következő gyakorisági táblázatba:

                                             összesen: 40

Az így elkészített gyakorisági táblázat adatait használjuk fel a hisztogram elkészítéséhez.

Az egyetemista fiúk feladatmegoldáshoz szükséges ideje gyakorisági eloszlásának hisztogramja és gyakorisági poligonja.

Megjegyzés

Természetesen léteznek más lehetséges gyakorisági eloszlások is. Hét osztályt és 9 mp-es hosszúságú osztályközt választva kapjuk:

összesen: 40

A gyakorisági táblázatban felvett osztályok száma és szélessége önkényesen választható. Ha kellően sok adat áll rendelkezésünkre, egyre keskenyebb osztályokat vehetünk fel, így a hisztogram téglalapjai egyre keskenyebbek lesznek, a gyakorisági poligon „kisimul”. Folytonos görbét azonban csak végtelen sok adat esetén, infinitezimálisan kicsi osztályokat véve kapnánk. Mivel a gyakorlatban ez az ideális eset csak megközelíthető, de el nem érhető, ezt a folytonos görbét elméleti eloszlásnak nevezzük. Többféle elméleti eloszlás ismeretes, a legáltalánosabban ismert (és használt) a normális eloszlás (a Poisson-eloszlás, a binomiális eloszlás stb. mellett).

A normális eloszlás Gauss-görbéje (haranggörbe):

Normális eloszlások haranggörbéi.

Közös jellemzőjük, hogy a magasságukra szimmetrikusak, folytonosak és egycsúcsúak.

A görbe jellemző pontjai:

- az eloszlás tipikus értéke (az eloszlás maximumának helye az X-tengelyen), (elméletileg minden entitást lemérve, azok átlagát kiszámítva: , gyakorlatilag egy n elemszámú mintát lemérve, azok átlagát kiszámítva),

- szórás vagy standard deviáció (az eloszlás szélessége), (az inflexiós pontok helye az X-tengelyen), (elméleti, valódi: , gyakorlatban mintából számított: S).

A valóságban a biológiai gyakorisági eloszlások csak ritkán (ha egyáltalán) mutatnak szabályos alakot.

Normális eloszláshoz hasonló, valamint „hegyesebb” és „laposabb” eloszlások.

Ha az OX-tengely egységnyi szakaszára eső gyakoriság-csökkenés nem egyforma mértékű a görbe magasságának mindkét oldalán (a tipikus értéknél nagyobbakra és kisebbekre), ferde eloszlásról beszélünk.

Ferde eloszlások.

Ha egy eloszlásban több tipikus érték található, többcsúcsú eloszlásról beszélünk.

Kétcsúcsú eloszlás.

A szabályos haranggörbe a következő egyenlettel írható le:

Az egyenlet általános alakja a normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Amely görbe leírható ezzel az egyenlettel, azt normális eloszlásúnak nevezzük. Más szavakkal: azok a görbék mutatnak normális eloszlást, amelyek bármely (x, f(x)) pontjára igaz a fenti (Gauss-) egyenlőség.

Megjegyzés

Annak tesztelésére, hogy egy adatsor normális eloszlást követ-e, a Kolmogorov-Smirnov-próbát használjuk.

Kiszámítása:

Geometriai értelme: alátámasztási pont.

Nem biztos, hogy létezik, és ha létezik sem biztos, hogy egyetlen.

Geometriai értelme: a gyakorisági eloszlás csúcsának megfelelő érték.

Geometriai értelme: a mediánban emelt függőleges felezi a görbe alatti területet.

Kiszámítása (wi a súlyozási faktor):

Feladat

Rajzoljunk két virágcsokrot (csoportot)! Az elsőben a szálmagasság szórása kicsi legyen, a második rajzolt csokorban a szálmagasság szórása nagy legyen!

Megoldás

Feladat

Rajzoljuk meg a normális eloszlás haranggörbéjét kis szórás esetén, és nagy szórás esetén (hangsúlyozzuk a kettő közötti különbözőséget!

Megoldás

Feladat

Jelöljük be a normális eloszlás haranggörbéjén a következő adatokat:

Megoldás

A szórásszámítás menetének megismeréséhez kövessük végig a mintapélda megoldását!

Mintapélda

Számítsuk ki a következő eloszlásban a szórást, ha a táblázat a Monodonta lineata legközelebbi mm-re kerekített szélességét (X) és az értékekhez tartozó gyakoriságokat (f) tartalmazza!

Megoldás

Kiszámítjuk:

{}

Számításaink eredményét munkatáblázatban rögzítve:

Feladat

Egy pékségbe kiflik érkeznek. Találomra kiválasztunk belőlük 20-at. Számítsuk ki a kiflik hosszának átlagát, szórását, és ábrázoljuk hisztogramon is mindezeket!

Megoldás: A 20 kifli hosszának hisztogramja átlaggal és átlagtól jobbra és balra 1-1 szórásnyi távolsággal.

Ezt a feladatot megoldhatjuk gyakorisági táblázatba rendezett adatokkal is. Figyeljük meg a megoldás menetében azt, hogy amikor az adatok összeadására kerül a sor, a gyakorisággal felszorzott értékekkel kell dolgoznunk (annyiszor kell az adatot hozzáadni, ahány van belőle)!

Most, hogy már ismerjük a szórás jelentését és kiszámítási módját – azaz lényegét – ellenőrizzük eredményeinket az Excel-program függvényvarázslója segítségével (statisztikai függvények közül válasszuk a szórást)!

A hibahatárok kiszámításához el kell döntenünk a kívánt biztonsági százalékot, amelyre a konfidenciahatárok vonatkoznak majd. Biológiai mintáknál a 95 % (ritkábban 99 %) biztonság (azaz 5 % illetve 1 % esély megengedett a véletlenre) - ezek az ún. szignifikanciaszintek) használata terjedt el.

A statisztikai t-táblázat segítségével dolgozunk, első lépésként kikeresve innen a kívánt P %-hoz és a mintánk elemszáma által meghatározott FG = n-1 érétékpárhoz tartozó t-értéket.

Ezután az átlag szórását (más néven standard hiba) a következő képlettel számítjuk ki:

A számított (gyakorlati) átlag ( X ¯ size 12{ {overline {X}} } {} ) körül P % biztonsággal h1 és h2 értékek között található a valódi (elméleti) átlag.

A h1 és h2 hibahatárok kiszámítása, a

képlettel történik.

Mintapélda

Számítsuk ki az előző feladatban megadott adatokból a Monodonta lineata átlagos szélességének 99 %-os biztonsággal állítható konfidenciahatárait!

Megoldás

A Dixon-próbát normális eloszlású sokaság esetén alkalmazhatjuk, az extrém értékek kizárására. A próba eldönti, hogy származhatott-e az illető adat a vizsgált sokaságból.

Mintapélda

Fiatal hízott bikák vágáskori átlagos szívtömegét kívánjuk meghatározni 8 bika szívének tömegéből. Az adatok kilogrammban:

2.2,  2.2,  2.3,  2.1,  1.4,  2.3,  2.0,  2.1.

Van-e az adatok között olyan kiugró érték, amelyet célszerű kizárni az átlagolásból, hogy el ne torzítsa azt?

Megoldás

Megállapítjuk, hogy az 1.4 érték "gyanúsan" kilóg a sorból, ezért erre az adatra végezzük el a próbát. Az adatokat nagyságrendben felsorakoztatjuk, mindig a kiugrótól kezdve:

összehasonlítjuk a táblázati r-értékkel:

Ha a számított r-érték meghaladja a táblázatban szabadon választott P %-ra megadott kritikus r-értéket, a kiugró értéket kizárjuk.

rtáblázati (0.554) < rszámított (0.667), ami azt jelenti, hogy kisebb, mint 5 % az esélye annak, hogy a vizsgált érték az illető sokasághoz tartozik.

A vizsgált kiugró értéket tehát ki kell zárni az átlagolásból, mert az eltérésnek kivizsgálandó oka van.

Ez az ok lehet mérési, feljegyzési, vagy egyéb ok, de minden esetben figyelmesnek kell lennünk a kizáráskor, mert lehet, hogy éppen egy ilyen kiugró érték hívja fel a figyelmünket egy, a kísérletek végzésekor elkövetett szisztematikus hibára, vagy valamilyen fontos biológiai jelenségre. A kiugró érték kizárását tehát sohasem szabad mechanikusan végeznünk a Dixon-próba eredménye alapján.

Megjegyzés

Ha több kiugró értékünk van, a módszert folytatólagosan alkalmazhatjuk.

A gyakorlatban két (vagy több) változó között sokszor létezik valamiféle kapcsolat. Például egy légszennyező anyag koncentrációja valamilyen mértékben függ az illető helynek az emittáló forrástól való távolságától, vagy a felnőtt férfiak testtömege függ testmagasságuktól (is). Szükségünk lehet arra, hogy ezt a kapcsolatot a változókat összekötő valamilyen egyenlet felírásával matematikai formába öntsük.

A változókat összekapcsoló egyenlet meghatározásához első lépésben összegyűjtjük az adatokat, és pontdiagramon ábrázoljuk. A pontdiagram alapján gyakran be tudunk rajzolni az ábrába egy olyan sima görbét, amely jól közelíti az adatokat. Ezt a görbét közelítő görbének nevezzük. Az ábrán látható esetben a változók között lineáris kapcsolat:

A változók között lineáris kapcsolat van.

A következő ábrán látható esetben pedig nemlineáris kapcsolat fedezhető fel:

A változók között a kapcsolat nemlineáris

Görbeillesztésnek azt az általános feladatot nevezzük, amely során egy adott ponthalmazt közelítő görbe egyenletét határozzuk meg.

Ha X a független és Y a függő változó, a közelítő görbék általános egyenletei közül néhány:

Görbeillesztéskor meg kell fogalmaznunk sejtésünket a görbe típusára vonatkozóan. Ezt a változók pontdiagramja, vagy a transzformált változók pontdiagramja alapján végezzük (ha pl. log Y-t X függvényében ábrázolva egyeneshez jutunk, az X és Y közötti összefüggés exponenciális).

Egy adathalmazra sokszor egyéni megfontolás alapján is illeszthetünk közelítő görbét. Ezt nevezzük a szabadkézi görbeillesztés módszerének. Ha ismerjük a görbe típusát, akkor az így megrajzolt görbén annyi pontot felvéve, ahány paraméter van az egyenletben, megkaphatjuk a paraméterek értékét, s ezzel az illesztett görbe egyenletét. Egyenes esetén például két, parabola esetén három pontra (tehát összetartozó adatpárra) van szükségünk. A módszernek az a hátránya, hogy a különböző megfigyelők, különböző görbékhez (és nyilván egyenletekhez) jutnak.

A legegyszerűbb közelítő görbe az egyenes, amelynek egyenlete

Annak érdekében, hogy az egyenes illesztésénél jelentkező szubjektivitást elkerüljük, egységesen kell definiálni a "legjobban illeszkedő egyenes" fogalmát. Ehhez tekintsük a következő ábrát. Az C n , U n size 12{ left (C rSub { size 8{n} } ,U rSub { size 8{n} } right )} {} adatpontoknak a görbétől való távolsága D n size 12{D rSub { size 8{n} } } {} .

Az adatpontoknak a közelítő görbétől való távolsága.

A C görbének az adatokhoz való illeszkedésének jóságát a

 mennyiséggel mérhetjük. (Ha ez kicsi, az illeszkedés jó, ha nagy, az illeszkedés rossz.) Az összes lehetséges közelítő görbék közül egy meghatározott adathalmazra legjobban illeszkedő görbének azt nevezzük, amelyre

értéke minimális.

Az ilyen tulajdonsággal rendelkező egyenest a legkisebb négyzetek módszerével illesztett egyenesnek nevezzük.

Az N adatpárból álló ponthalmazra illeszkedő egyenes egyenletét (melyet Y-nak X-re vonatkozó regressziós egyenesének nevezünk) a következő módon határozzuk meg:

- az egyenlet általános alakja:

- ahol a 0 size 12{a rSub { size 8{0} } } {} és a 1 size 12{a rSub { size 8{1} } } {} paramétereket az alábbi egyenletrendszer megoldásával kapjuk :

Megjegyzés

Az egyenes egyenletének meghatározásának munkáját lerövidíthetjük, ha az

 transzformált változókkal dolgozunk. Ekkor az egyenes egyenlete az alábbi módon irható fel:

Mintapélda

Szerkesszünk a táblázatban szereplő adatokat közelítő egyenest, és határozzuk meg annak egyenletét.

Megoldás

- ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben az (X, Y) pontpárokat, és húzzuk be a pontokat közelítő egyenest.

A pontokat közelítő egyenest “szemre” is kihúzhatjuk. Ez a szabadkézi egyenes.

- az összegek kiszámításához munkatáblázatot készítünk:

A változók közötti összefüggés szorosságát mutatja a korreláció, aminek segítségével azt akarjuk meghatározni, hogy egy lineáris (vagy más típusú) egyenlet milyen jól magyarázza a változók között fennálló kapcsolatot.

Ha a változók minden értéke pontosan kielégít egy egyenletet, akkor azt mondjuk, hogy a változók tökéletesen korreláltak, vagy azt, hogy tökéletes korreláció van közöttük. Így például a körök C kerülete valamint r sugara között tökéletes korreláció van, hiszen C = 2 ⋅ p ⋅ r size 12{C=2 cdot p cdot r} {} . Ha két kockát százszor feldobunk, akkor a két kockán lévő számok között nincs összefüggés (feltéve, hogy nem cinkelt kockákat használunk), azaz korrelálatlanok. Az olyan változók pedig, mint az emberek magassága és testtömege "valamilyen" mértékű korrelációt mutathatnak.

Két változó esetén egyszerű vagy kétváltozós korrelációról, illetve regresszióról beszélünk.

Ha X és Y jelöli a két vizsgált változót, akkor az (Xi, Yi) pontok elhelyezkedését a derékszögű koordinátarendszerben pontdiagramon vizsgálhatjuk. Ha a diagram összes pontja megközelítőleg egy egyenesre esik, ahogy az ábrán is látható, a korrelációt lineárisnak nevezzük. Ilyen esetekben lineáris egyenlet felel meg a regressziószámítás céljainak.

Pozitív lineáris (direkt) korreláció, negatív lineáris (fordított irányú) korreláció.

Ha a pontok valamilyen görbe mentén helyezkednek el, a korrelációt nemlineárisnak nevezzük, és akkor valamilyen nemlineáris egyenlet írja le a regressziót. Ha semmilyen kapcsolat sem mutatkozik a változók között, azt mondjuk, hogy nincs korreláció közöttük:

Nincs korreláció a változók között.

Ha számszerűsíteni akarjuk a mintaadatok egyenestől (vagy görbétől) való eltérését, ki kell számolnunk a korreláció mérőszámát. Így kapunk majd információt arra vonatkozóan, hogy milyen szoros korrelációban vannak a változók egymással.

Y-nak X-re vonatkozó, a legkisebb négyzetek módszerével illesztett regressziós egyenese:

Ha valamennyi mintapont erre az egyenesre esik, X és Y között tökéletes lineáris korreláció van. Az r mutatót a korreláció együtthatójának (röviden korrelációs együtthatónak) nevezzük, és ebben az esetben értéke +/- 1.

A korrelációs együttható (r) értéke -1 és +1 között változhat, a + és - jelek pozitív illetve negatív lineáris korrelációra utalnak.

1. Megjegyzés

r-nek nincs mértékegysége, így értéke nem függ az alkalmazott egységektől.

2. Megjegyzés

r számított értéke minden esetben csak a feltételezett egyenletre vonatkozólag mutatja a kapcsolat erősségét. Ezért ha lineáris egyenletet feltételezünk, és 0-hoz közeli értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy szinte nincs lineáris korreláció a változók között. Ugyanakkor ez nem jelenti azt, hogy egyáltalán nincs korreláció, hiszen ettől még erős nemlineáris korrelációs kapcsolat lehet a változók között. Más szavakkal, a korrelációs együttható a feltételezett egyenlet és az adatok közötti illeszkedés jóságát méri.

3. Megjegyzés

Ha mást nem kötünk ki, a korrelációs együttható kifejezés általában lineáris korrelációs együtthatót jelöl.

4. Megjegyzés

Egy erős korrelációs együttható (+1-hez vagy -1-hez közeli) nem szükségszerűen jelenti a változók közvetlen összefüggését. Előfordulhat például, hogy erős korreláció mutatkozik a kiadott könyvek és a felvett utcaseprők száma között. Az ilyen esetekre azt mondjuk, hogy képtelen vagy hamis a korreláció.

Mintapélda

a. Számítsuk ki a táblázatban adott X és Y változók közötti lineáris korrelációs együtthatót!

b. Számítsuk ki X szórását és Y szórását!

Megoldás

A sokaságokra vonatkozó különféle feltevéseket hipotéziseknek, az azok helyességének mintavételi eredményekre alapozott vizsgálatát pedig hipotézisvizsgálatnak nevezzük. A hipotézisek a vizsgált sokaság(ok) eloszlására, vagy az adott eloszlás(ok) egy vagy több paraméterére vonatkozhatnak. A különféle hipotézisek vizsgálatára szolgáló eljárásokat próbáknak - más néven teszteknek - hívjuk. A hipotézisvizsgálat lényegében mindig annak mérlegelése, hogy a vizsgálat tárgyának megfelelő sokaságra vonatkozó valamely állítás mennyire hihető a mintavétel eredményeinek tükrében.

A hipotézis- és szignifikanciatesztek legtöbbje különböző feltevéseket követel meg azon sokaság eloszlására, amelyből a mintát vettük (például a sokasági eloszlásnak normálisnak kell lennie). A gyakorlatban előfordulnak olyan esetek, amikor ilyen feltételezésekkel nem élhetünk, vagy érvényességük kétséges (például amikor a sokaság eloszlása nagyon ferde). Emiatt a statisztikusok különböző próbákat és módszereket dolgoztak ki, amelyek függetlenek a sokaság eloszlásától és az eloszlás paramétereitől. Ezeket hívjuk nemparaméteres próbáknak. A nemparaméteres próbák jóval szélesebb körben olyan esetekben is használhatók, amikor nem teljesülnek az egy-egy adott hipotézis helyességének ellenőrzésére használható paraméteres próbák alkalmazási feltételei. Ennek természetesen ára is van. Az, hogy a nemparaméters próbák ereje általában kisebb az ugyanazon hipotézis helyességének ellenőrzéséhez használható, de több alkalmazási feltételt támasztó paraméteres próbák erejénél. De a nemparaméters próbák használata sok esetben nem egyszerűen szabad elhatározás kérdése, hanem igen gyakran a paraméteres próbák alkalmazási feltételeinek nem teljesülése miatti kényszerűség. (Időnként előfordul, hogy a nemparaméteres próbákat bonyolultabb próbák helyett egyszerűbb megoldásként használjuk.)

Amikor ki kell választanunk  a hipotézis ellenőrzésére használható próbát, akkor a szóba jövő próbák közül mindig azt válasszuk ki, amely az adott esetben ténylegesen teljesülő feltételek mindegyikét hasznosítja. Hacsak lehet, paraméteres próbát válasszunk! A szigorúbb alkalmazási feltételeket támasztó, illetve a paraméteres próbák ugyanis nagyobb erővel bírnak, mint a kevesebb feltétel teljesülését igénylő nemparaméteres próbák.

Ilyen választási lehetőség a gyakorlatban azonban ritkán fordul elő (inkább csak akkor, ha valamely - egyébként teljesülő - alkalmazási feltételt tudatosan kihasználatlanul hagyunk a hipotézisvizsgálat során).

A próbák - szigorúan véve - csak akkor használhatók, ha alkalmazásuk feltételei mindegyike teljesül. Egy próbát valamely feltétel szempontjából akkor szokás robusztusnak nevezni, ha az adott feltétel teljesülésének hiánya vagy nem pontos teljesülése nem gyakorol lényeges befolyást a próbával elkövethető hiba elkövetési valószínűségére. Ezért  a próbák robusztusságának vizsgálata igen nagy gyakorlati jelentőségű kérdés. Ugyanakkor - legalábbis teljes általánosságban - csak igen nehezen vizsgálható. Az effajta vizsgálatok ugyanis szinte kizárólag csak mesterségesen létrehozott mintákkal vagy mesterséges mintaismétlésekkel nyert eredmények tanulmányozására alapozhatók. Ebből adódóan az eredmények csak nehezen általánosíthatók.

Néhány próba, és alkalmazási területe:

- Egymintás t-próba - paraméteres próba, normális eloszlást követel meg. Vizsgálja, hogy a minta várható értéke egyenlő-e egy bizonyos értékkel (vajon: μ=μ₀) (például a margarinos dobozokban található termék tömege szignifikánsan eltér-e a dobozra nyomtatott adattól).

- Khi-négyzet-próba - illeszkedésvizsgálathoz használt nemparaméteres próba (például: szignifikánsan eltérnek-e a gyakorlatban kapott eredmények egy bizonyos genetikai modell elméletileg számítható értékeitől).

- Kétmintás t-próba - paraméteres próba. Két minta várható értékét hasonlítja össze (vajon: 1=2). Megállapítható segítségével, hogy a két minta szignifikánsan eltér-e egymástól (például: az újfajta gyógyszerrel kezelt betegek hamarabb meggyógyulnak-e, mint a hagyományos módszerrel kezelt betegek).

- Mann-Whitney-féle U-próba - nemparaméteres próba. Segítségével eldönthető, van-e különbség a minták között, azaz ugyanabból a sokaságból származnak-e. Kettőnél több sokaság összehasonlítására az ún. Kruskal-Wallis-próbát használjuk.

- A Kruskal-Wallis-féle H-próba (röviden H-próba) az U-próba általánosítása k számú mintára. Olyan nemparaméteres próba, amely segítségével eldönthetjük, hogy k számú minta ugyanabból a sokaságból származik-e, tehát van-e különbség a minták között.

- F-próba - paraméters próba, ugyanis normális eloszlást feltételez. Két sokaság varianciáját (szórását) hasonlítja össze (vajon: s X 2 = s Y 2 size 12{s"" lSub { size 8{X} } lSup { size 8{2} } =s"" lSub { size 8{Y} } lSup { size 8{2} } } {} ). Kettőnél több sokaság esetén a Bartlett-próbát használjuk.

- Bartlett-próba - paraméteres próba, több normális eloszlású sokaság varianciájának (szórásának) egyenlőségét vizsgálja (vajon: s 1 2 = s 2 2 = K = s n 2 size 12{s"" lSub { size 8{1} } lSup { size 8{2} } =s"" lSub { size 8{2} } lSup { size 8{2} } =K=s"" lSub { size 8{n} } lSup { size 8{2} } } {} ) .

- Varianciaanalízis: Sok esetben szükség lehet annak vizsgálatára, hogy három vagy több mintaátlag között szignifikáns-e az eltérés. Ennek eldöntése a varianciaanalízis célja. Több normális eloszlású, azonos varianciájú sokaság várható értékének összehasonlítására alkalmazzuk (vajon: m 1 = m 2 = K = m n size 12{m rSub { size 8{1} } =m rSub { size 8{2} } =K=m rSub { size 8{n} } } {} ). Eredménye lehet: "a várható értékek egyformák", illetve "nem minden várható érték egyforma". (Például: a hét különböző napjain eladott kenyérmennyiség egy boltban egyforma-e?)

Befejezésképpen néhány szót arról, hogy a hipotézisvizsgálat milyen szerepet tölthet be a gyakorlatban.

A próbák legkézenfekvőbb hasznosítása talán a mintavételen alapuló minőségellenőrzés, melynek alapvető formái a méréses és minősítéses ellenőrzés. Mindkét esetben a termelésből vett véletlen minták elemei kerülnek ellenőrzésre. Az első esetben azok valamilyen számszerű jellemzőjének megmérése, a másodikban pedig az egyes mintaelemek selejtesnek vagy hibátlannak minősítése útján.

A próbák annak eldöntésére is igen jól használhatók, hogy a két vagy több mintavétel révén nyert adat, mutatószám egymástól való eltérése, vagy egy sokaság egyetlen mintából becsült számszerű jellemzőjének valamilyen bázisnak tekinthető értéktől való eltérése nem csak a véletlen játéka-e, azaz nem csak a mintavételi ingadozások következménye-e. Az adatok egymástól vagy egy valamilyen szempontból kívánatosnak tartott szinttől való eltérése ugyanis nyilván csak akkor igényel külön magyarázatot, további elemzést, ha az nem a mintavétellel szükségszerűen együtt járó véletlenszerű ingadozásoknak tulajdonítható. E kérdés tisztázása különösen akkor fontos, ha az eredmények kis mintákból származnak. A próbák pedig éppen ennek az eldöntésére szolgáló eszközök.

ALGORITMUSOK A STATISZTIKAI MÓDSZER KIVÁLASZTÁSÁRA

(forrás: gdfinfo3.ingyenweb.hu/3mappa/statisztikai/stat.szoft_könyv.doc)

Néhány kiválasztási módszert ismertetünk az alkalmazandó statisztikai módszer kiválasztására. A rengeteg ismert módszer miatt nem törekedtünk teljességre, inkább csak a leggyakrabban előforduló eljárásokat érintjük.

SZÖVEGES ALGORITMUS

1. Egy minta van

2. Kettő vagy több független minta van

3. Valamely minta csoportokra való osztása

4. Meglévő csoportokba besorolás

5. Véletlenszerűség vizsgálata

6. Konfidenciaintervallum megadása

7. Vizsgálati módszerek összehasonlítása:

8. Tulajdonság előfordulásának gyakorisága

9. Egyéb